17/12 - Costruzione di campi finiti come quozienti di anelli del tipo $\mathbb Z_p[X]$. Radici di un polinomio di $\mathbb Z_p[X]$ in un campo di Galois di $\mathbb F_{p^n}$.
13/12 - Estensioni di campi: elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo di un elemento algebrico $\alpha$ e sue relazioni con l'ampliamento semplice $K(\alpha)$. Campi finiti: cardinalità, caratteristica, ciclicità del gruppo moltiplicativo $\mathbb F \backslash \{0\}$.
9/12 - Polinomi primitivi nell'anello $A[X]$, dove $A$ è un UFD. Irriducbilità dei polinomi in $\mathbb Z[X]$, $\mathbb Q[X]$, $\mathbb R[X]$, $\mathbb C[X]$. Lemma di Gauss. Se $A$ è UFD, allora anche $A[X]$ è UFD: dimostrazione.
5/12 - L'anello $\mathbb Z[\sqrt{d}]$ e i suoi elementi invertibili. $K[X]$ è un dominio euclideo: dimostrazione.
3/12 - Domini a Ideali Principali (PID). Ideali primi e massimali nei PID. Domini Euclidei (ED). Esempi: $\mathbb Z$, $K$, $\mathbb Z[i]$. Divisione col resto in $\mathbb Z[i]$.
29/11 - Minimo Comune Multiplo. Collegamenti fra MCD e mcm di due elementi. Lemma di Euclide negli anelli con il MCD. I domini UFD hanno il MCD. Caratterizzazione degli UFD tramite le catene ascendenti di ideali principali.
26/11 - Caratteristica di un anello. Relazione di divisibilità fra elementi in un dominio. Elementi primi, irriducibili e associati. Definizione di MCD e domini a Fattorizzazione Unica (UFD). Identità di Bezout. Significato del MCD e dell'Identità di Bezout a livello di ideali del dominio D.
22/11 - Corrispondenza fra ideali primi e massimali tramite un omomorfismo di anelli. Campo dei quozienti di un anello commutativo e integro.
19/11 - Teorema di Krull sull'esistenza degli ideali massimali in un anello unitario. Controesempio in un anello non unitario. Omomorfismi di anelli: prime proprietà ed esempi. Teorema Fondamentale di omomorfismo. Corrispondenza di sottoanelli e ideali tramite un omomorfismo di anelli.
15/11 - Relazioni compatibili in un anello e corrispondenza con gli ideali bilateri. Congruenza modulo un ideale bilatero. Anello quoziente. Esempi in $\mathbb Z$ e negli anelli di polinomi. Ideali primi e massimali in un anello. Il quoziente di un ideale primo è un anello integro e il quoziente di un massimale è un campo (se $R$ è unitario e commutativo).
12/11 - Definizione di anello: unitario, commutativo, integro, campo o corpo. Esempi. Un domino finito è un campo. Sottoanelli: definizione e prime proprietà. Ideali: definizione di ideale destro, sinistro o bilatero.
8/11 - Prodotto diretto di gruppi. Struttura dei gruppi abeliani finiti (cenni).
13/12 - Estensioni di campi: elementi algebrici e trascendenti. Polinomio minimo di un elemento algebrico $\alpha$ e sue relazioni con l'ampliamento semplice $K(\alpha)$. Campi finiti: cardinalità, caratteristica, ciclicità del gruppo moltiplicativo $\mathbb F \backslash \{0\}$.
9/12 - Polinomi primitivi nell'anello $A[X]$, dove $A$ è un UFD. Irriducbilità dei polinomi in $\mathbb Z[X]$, $\mathbb Q[X]$, $\mathbb R[X]$, $\mathbb C[X]$. Lemma di Gauss. Se $A$ è UFD, allora anche $A[X]$ è UFD: dimostrazione.
5/12 - L'anello $\mathbb Z[\sqrt{d}]$ e i suoi elementi invertibili. $K[X]$ è un dominio euclideo: dimostrazione.
3/12 - Domini a Ideali Principali (PID). Ideali primi e massimali nei PID. Domini Euclidei (ED). Esempi: $\mathbb Z$, $K$, $\mathbb Z[i]$. Divisione col resto in $\mathbb Z[i]$.
29/11 - Minimo Comune Multiplo. Collegamenti fra MCD e mcm di due elementi. Lemma di Euclide negli anelli con il MCD. I domini UFD hanno il MCD. Caratterizzazione degli UFD tramite le catene ascendenti di ideali principali.
26/11 - Caratteristica di un anello. Relazione di divisibilità fra elementi in un dominio. Elementi primi, irriducibili e associati. Definizione di MCD e domini a Fattorizzazione Unica (UFD). Identità di Bezout. Significato del MCD e dell'Identità di Bezout a livello di ideali del dominio D.
22/11 - Corrispondenza fra ideali primi e massimali tramite un omomorfismo di anelli. Campo dei quozienti di un anello commutativo e integro.
19/11 - Teorema di Krull sull'esistenza degli ideali massimali in un anello unitario. Controesempio in un anello non unitario. Omomorfismi di anelli: prime proprietà ed esempi. Teorema Fondamentale di omomorfismo. Corrispondenza di sottoanelli e ideali tramite un omomorfismo di anelli.
15/11 - Relazioni compatibili in un anello e corrispondenza con gli ideali bilateri. Congruenza modulo un ideale bilatero. Anello quoziente. Esempi in $\mathbb Z$ e negli anelli di polinomi. Ideali primi e massimali in un anello. Il quoziente di un ideale primo è un anello integro e il quoziente di un massimale è un campo (se $R$ è unitario e commutativo).
12/11 - Definizione di anello: unitario, commutativo, integro, campo o corpo. Esempi. Un domino finito è un campo. Sottoanelli: definizione e prime proprietà. Ideali: definizione di ideale destro, sinistro o bilatero.
8/11 - Prodotto diretto di gruppi. Struttura dei gruppi abeliani finiti (cenni).
5/11 - Classi coniugate di una permutazione di $S_n$: come sono fatte e qual è la loro cardinalità. Sottogruppi caratteristici e collegamenti con la normalità. Esempio: sottogruppo derivato.
25/10 - Numero di orbite di un'azione (Formula di Burnside). Equazione delle classi. Applicazioni ai $p$-gruppi: il centro di un $p$-gruppo è non banale, un gruppo di ordine $p^2$ è abeliano. Teorema di Cauchy sull'esistenza di un elemento di ordine $p$.
22/10 - Teoremi di isomorfismo per i gruppi. Gruppo degli automorfismi di $G$ e automorfismi interni. Azione di un gruppo su un insieme. Calcolo della cardinalità delle orbite.
18/10 - Centro di un gruppo: definizione e prime proprietà. Teorema Fondamentale di Omomorfismo per i gruppi. Corrispondenza fra sottogruppi e sottogruppi normali in un omomorfismo di gruppi. Centralizzante di un elemento.
15/10 - Prodotto di sottogruppi. Relazione fra la normalità di un sottogruppo $H$ di $G$ e il prodotto delle classi laterali. Gruppo quoziente.
11/10 - Relazioni compatibili di un gruppo e sottogruppi normali. Relazione di coniugio in un gruppo e caratterizzazione dei sottogruppi normali tramite i loro coniugati.
8/10 - Definizione di $p$-gruppo. Teorema di Cayley. Isomorfismi di gruppi: ordine di un elemento e della sua immagine. Esempi. Omomorfismi di gruppi: definizione e prime proprietà. Classi laterali rispetto al nucleo di un omomorfismo.
4/10 - Generatori di un gruppo diedrale. Classi laterali di un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$. Teorma di Lagrange e suoi corollari.
27/9 - Sottogruppi di un gruppo ciclico: struttura e cardinalità. Gruppi simmetrici: scomposizione in cicli di una permutazione, ordine di una permutazione, trasposizioni.
24/9 - Definizione di gruppo. Notazione additiva e moltiplicativa. Unicità dell'elemento neutro e dell'inverso. Gruppi numerici e di matrici. Ordine di un elemento. Sottogruppi. Sottogruppi generati da un insieme $X$.
